Encontramos realizaciones canónicas de los complejos politopales Hom(G,H)formados por homomorfismos de grafos y estudiados por Babson y Kozlov. Si G es un grafo completo, caracterizamos en qué casos cierta proyección canónica de esta realización es a su vez un complejo, y mostramos que multitud de objetos interesantes aparecen como subestructuras de estas proyecciones: las disecciones de un polígono convexo en k-ágonos, los permutaedros generalizados de Postnikov, triangulaciones escalera y el grafo de composiciones de un entero en un número fijo de sumandos no negativos.