English: The motivation for developing structure-preserving algorithms came independentlyfrom different areas of research such as astronomy, molecular dynamics, mechanics,theoretical physics, and numerical analysis as well as from other areas of bothapplied and pure mathematics. It results that the preservation of geometric propertiesof the flow not only produces an improved qualitative behavior, but also permitsmore accurate long time integration than with general-purpose methods.Non-linear differential equations can exhibit very complicated behavior overextended time intervals and even the fundamental questions of existence,uniqueness, and extendability of solutions are non-solved issues.Nowadays, impact algorithms do not provide global solutions. Their implementationinvolves complex problems, such as a wide casuistry range and a non-assuredstability when non-linear differential equations are treated.Then, the geometric numerical integration is an interesting way to tackle the issueowing to the fact that the invariants preservation of the system permits to check thegoodness of the integration.The main objective of this work has been to present some time integrationalgorithms for conservative particle systems with constraints. These algorithms areinspired by the ones applied in rigid body contacts using finite-element methods. Inaddition, we have proposed a simplification for complex geometries.The integration schemes used have been the Forward Euler, the Backward Euler, theSymplectic Euler, the Trapezoidal Rule, the Midpoint Euler and the Energymomentumconserving method. All these schemes have been adapted to reproducethe Karush-Kuhn-Tucker conditions using different methods, specifically the regularpenalty method, the Lagrange multipliers method and their respective adaptation toenergy conserving schemes.To resolve time-stepping problems when complex geometries are faced we haveproposed for the Lagrange multipliers method an average reaction force based on thedecomposition of the reaction force in a covariant and contravariant basis thatcorresponds to the violated surfaces.

Català: El motiu per desenvolupar algorismes que preservin l’estructura, provéindependentment de diferents àrees de recerca com l’astronomia, la dinàmicamolecular, la mecànica, la física teòrica, l’anàlisi numèric i, tanmateix, d’altres àreestant de matemàtiques teòriques com aplicades. Resulta que la preservació de lespropietat geomètriques del flux, no tan sols produeix un comportament qualitatiumillorat, sinó que també permet una integració a llarg plaç molt més precisa queamb el codis més generalistes.Les equacions diferencials no lineals poden manifestar comportaments moltcomplicats al llarg d’intervals de temps extensos i, fins i tot, les qüestions mésfonamentals com l’existència i la unicitat de solucions són temes no solucionats.Actualment, els algorismes d’impacte per equacions diferencials no lineals, noofereixen solucions globals. La seva implementació comporta problemes complexes,com una gran casuística de situacions i grans problemes amb l’estabilitat de lasolució.Per tot el que s’ha mencionat, creiem que la integració numèrica des d’un punt devista geomètric és una manera interessant d’abordar el tema donat que la preservaciód’invariants és un bon punt de control.L’objectiu principal del treball ha estat presentar algorismes d’integració per asistemes de partícules conservatius i amb restriccions. Els algorismes proposatss’inspiren dels provinents de cossos rígids utilitzant el mètode dels elements finits.Finalment, s’ha proposat una simplificació per geometries complexes.Els esquemes d’integració utilitzats han estat el Backward Euler, el SymplecticEuler, el Trapezoidal Rule, el Midpoint Euler I l’ Energy-momentum conservingmethod. Tots aquests esquemes s’han adaptat per reproduir les condicions deKarush-Kuhn-Tucker utilitzant diferents mètodes. En concret, el regular penaltymethod, el Lagrange multipliers method i les seves repectives adaptacions alsesquemes conservatius.Per a resoldre el problemes de pas de temps que sorgeixen a l’hora de treballar ambgeometries de contorn complexes, s’ha proposat un mètode per els multiplicadors deLagrange que consisteix en trobar un promig de la força de reacció de l’impacte apartir de la descomposició d’aquesta en la base covariant y contravariant que formenles superfícies de contorn.